解析解,指用精確的數學表達式寫出的方程解。有些方程難以求出解析解,隻能寫出近似解。如下圖,x=cos(x)就沒有解析解,方程的解隻能近似為x≈0.7390…

△x=cos(x),x沒有解析解

這個難倒數學傢的問題,叫做“山羊問題” (goat problem),最初的問題描述是這樣的:

將一隻山羊拴在面積為1英畝的圓形草地的圍欄上,請問栓多長的繩子,才能讓山羊剛好吃到半英畝的草?

問題提出後,已有數學傢給出瞭2種求解方程。

但,僅僅是“方程”:

這個問題的精確答案,即如何準確地用圍欄半徑來表示繩子長度,卻一直懸而未解。

美國海軍學院數學傢Mark Meyerson曾表示,對於這一問題,此前“沒人知道確切答案,解決方法隻是大致給出的。”

直到今年,才有一位叫做Ingo Ullisch的德國數學傢,給出瞭這個問題的解析解。

從迭代到積分,求出來的還是方程

如果用數學的語言來描述這個問題,它是這樣的:

一個半徑為R的圓A,與另一個半徑為r的圓B相交,其中圓B的圓心在圓A上,且兩個圓的相交面積為圓A面積的一半,求解r。

如果隻是列出有關r的方程,目前已經有兩種方案。

第一種方案,代入求解透鏡面積的方程。

透鏡由兩個(半徑相同或不同的)圓相交構成,求解它的面積A,目前已有這麼一個公式(其中,兩圓半徑為R和r,圓心之間的距離為d):

顯然,“山羊問題”也能用透鏡面積方程來求解。

假設圍欄的半徑為1,那麼在“山羊問題”中,求解條件將變成R=d=1,且A=1/2π,求解出來的r符合這一方程式:

這個方程需要用迭代法求解,能得到r=1.1587…的答案。

但這不是數學傢想要的結果。

不願意就此放棄的數學傢們,試圖用求積分來解決這一問題,並給出瞭第二種方案:

這次,他們求出瞭左邊有r的式子,但遺憾的是,這其實是個超越方程 (指方程中有無法用自變數的多項式或開方表示的函數,類似於x=cosx):

這些看似都能求解出r,但實際上隻能算出數值解,而非解析解。

最後用上瞭復變函數

直到今年,一個名為Ingo Ullisch的科學傢,才終於給出瞭問題精準的解析解。

不過,為瞭求解這一問題,他甚至用上瞭復變函數的知識,這也使得式子變得復雜不已。

但也得益於他的貢獻,這一問題自被提出以來,第一次有瞭解析解:

那麼,這個式子是怎麼被求解出來的呢?

根據Ullisch的思路,他以兩個圓的圓心與其中一個交點相連,組成瞭一個三角形,如下圖所示。

其中,三角形的兩個底角分別被設為α/2和β/2。

在經過一系列復雜運算後,Ullisch將式子簡化成瞭下面這個方程:

求解這一方程,就能得到解析解,但會用到復變函數相關的定理。

Ullisch表示,這一問題之所以復雜,是因為問題本質上相當於給定瞭一個面積固定值,並倒推出它的輸入。

但如果想要逆轉這一過程,反向求解出輸入的定義,問題就會變得棘手。

CMU的數學教授Michael Harrison表示,這是他所知道的有關“山羊問題”的第一個明確的解析解。

“這絕對是一個進步。”

這也是山羊問題系列中,最原始、最根本,也是最難的問題之一。

有關山羊的問題,還有這麼多

事實上,自1748年來,數學傢們還從最原始的山羊問題中,思考出瞭各種問題的變體(換著花樣找難題做)。

例如,除瞭讓山羊在圍欄內吃草,還讓山羊到圍欄外吃草,並計算它能吃到的最大草地面積(其中,繩索長度和圍欄周長固定):

此外,甚至還讓羊飛上瞭空中,讓它在三維的世界裡吃草(空間中的山羊問題):

當然,根本問題還是求解球的半徑r,使得兩個相交球的相交體積正好是單位球體積的一半。

不過,蘭卡斯特大學的數學教授Graham Jameson表示:“三維問題實際上比二維問題更容易解決。”

數學傢Fraser表示,這是因為,如果將問題放在無限的維度中,數學傢們可以推論出一個更明確的答案。

例如,將這個問題放到n維空間時,Fraser就推算出,當n接近無窮大的時候,繩子與限定球體的半徑比接近於√2。

然而在二維世界裡,這種明確的答案反而很難找。

因此,這次Ullisch求出的解析解,也是“山羊問題”系列的重大突破。

不過Ullisch也承認,這一問題的解決,並不會顛覆教科書或數學的研究,因為它隻是一個孤立問題,不僅與其他問題無關,也沒有嵌入數學理論。

但數學傢們仍然非常激動。

Mark Meyerson表示:

為數學題尋找新的解法,通常是很有價值的,這些解法不僅可以再次給已解決的問題帶來新思路,還可以將之推廣到其他問題上。

數學傢Harrison則認為:

雖然解決放牧山羊的問題不會取得突破性的數學成果,但數學領域的新方向,永遠可能來自任何地方。

而提出山羊問題超越方程的Hoffman,也有類似的看法:

並非所有的數學進步都來自於取得根本性突破的人。有時候,這種進步也包括研究經典方法並找到新的角度,最終可能會帶來意想不到的效果。

當然,網友在祝賀之餘,也有表示這一問題“不太符合生活常理”的:

我認為這個問題,是沒有山羊相關的經驗的人提出的。因為我一想到山羊,就會想到它們在拼命跳籬笆、嚼繩子……這讓我沒辦法專心解決這個問題。

Source: m.cnbeta.com